丘成桐:数学史与数学教育

作者 | 丘成桐    发表时间 | 2023-09-21   来源 | 澎湃·翻书党

 

 丘成桐

 

数学史的内容,除了它肩负的历史意义外,也应当说明数学的有机发展,不只注意于数学本身,也要顾及数学的外延,要追寻数学发生在怎样环境之下,如何扩散出去。

先父谈哲学史的说法可用在数学史上,因此数学史的目的可归纳为三个:

一是求因。美国哲学家Walter Mavin1917年出版的著作《欧洲哲学史》(The History of European Philosophy, Macmillan, 1917)中写道:任何时代的哲学都是文明进程的产物,或是时代变迁的缩影。数学思想的产生不是凭空而来,因此需要穷源溯流,阐明产生此种思想的原因。

二是明变。数学思想变化至繁,但有一定轨迹,所以需要找寻其发展的轨迹。

三是评论。我们要将各种数学思想加以客观的评价,对它们对当时及后代的影响、产生何种价值,作评价可以帮助学者发展自己的想法。

学以致用与中国数学

举个例子,我们约略谈谈中国数学史。从前人们总会谈到伏羲、隶首、河图、洛书这些传说。然而,真正重要的中国古代算学书籍是《九章算术》《周髀算经》和《孙子算经》,尤以《九章》为最重要。大略而言,此书非一时一人之作,成书当在汉初,刘徽在公元263年为之作注,已经谈到秦末汉初时张苍为之删补。而东汉郑玄、马续则传述此书。刘徽的注疏可能比原书更为重要,此书涉及二次方程、联立线性方程、勾股定理、圆与球之面积和体积,刘徽是第一个证明勾股定理的中国数学家。

 《九章算术》

 

《孙子算经》大约为东汉人所作,这是记载物不知数的算经,率先给出中国剩余定理,这可说是中国算学史上最伟大的创作。这个定理从命题到应用,都由中国学者首先提出,其重要性影响至今。

刘徽以3为圆周率,至祖冲之(南朝人,公元429500年)则算圆周率值在3.14159263.1415927之间,这确是一个重要的工作,其方法与阿基米德相同。以后唐朝有王孝通著《缉古算经》,谈到二次和三次方程,然而未提解法。

南宋和元朝期间(1214世纪)则有李治、秦九韶、杨辉、朱世杰等杰出数学家。杨辉发现帕斯卡三角形定理,秦九韶发现霍纳算法,都比帕斯卡和霍纳早四五百年。总括来说,这一段时间数学以代数为主,尚有天元和四元术的发展。与阿拉伯和印度数学家应当有一定的来往,但需要更多的考证。

明清的数学与西方相差太远,无可观者。明末利玛窦和徐光启才开始翻译欧几里得《几何原本》前6卷。而中国学者虽然仰慕《几何原本》的推理方法,却无力吸取其精髓。到19世纪初叶,李善兰才将《几何原本》全部译出。

 利玛窦(左)和徐光启

 

清朝数学家却花了不少时间,去整理中国数学古籍。一方面可以看到清代文字狱的影响,一方面也可以隐约看出学者心存夷夏之分,抗拒西方的思想。

当西方文艺复兴、百家争鸣的时候,明清政府却大力钳制思想。明成祖为了证明自己的正统,诛杀方孝孺,天下读书种子,从此灭矣。数学和有学问的数学家一直到近代,才得到比较多的尊重。

中国强调中体西用,以拿来主义吸纳了大量科学技术,但客观而理性的判断方法,即科学精神远未普及。“‘家有敝帚,享之千金。斯不自见之患也。这是今日中国数学尚不及西方的一个原因。

纵观中国数学发展,基本上尊崇儒家学以致用的想法,对应用科学背后的基本规律研究兴趣并不大。在庄子、墨子和名家的著作中,可以看到比较抽象和无穷逼近法的观念。

《庄子·天下》:一尺之棰,日取其半,万世不竭。但是这种观念在实际运算上没有表现出来,直到刘徽和祖冲之,才用这种方法来计算圆周率。《九章算术》的写作是用例子来解释数学,读者没有办法知道这些例子有多广泛,更不知道证明的来龙去脉。模棱两可的态度是其中的弊病。

在某种意义上,中国古代数学的主要活动,始终停留在实验科学的层次上,中国数学家对证明定理的兴趣不大。我们的文化强调人治的观点,以家庭、宗族为出发点,甚于考虑复杂的数学现象,可以用几条简单显而易见的公理来推导,这与希腊数学家的态度有显著的不同。

数学描述自然真理

毕达哥拉斯学派(公元前五百多年)以为天地万物都可以用数字来表示。他们率先指出假设和证明的重要性。在公元前300年,欧几里得的公理就清楚地指出,一切平面几何定理都可以由少数公理推出。这可能是欧几里得搜集了几百年来几何发展得出的结论。

 欧几里得


欧氏公理影响了整个科学的发展。在物理科学上,引导了牛顿三大定律和现代的统一场论。在数学上,它使我们知道所发现的定理并非互不关联的事实,它们都可以由几条简易公理来推导。希腊学者在两千多年前已经为科学文明奠定了牢固的基础。

数学家历来对欧氏公理有很浓厚的兴趣,其主要的原因是欧氏公理找到了平面几何的精髓。以简御繁,才能搞清楚我们创造出来的数学概念的真正意义。中国画家画山水画,也是想用简单的笔法将画家心中的感觉表现出来。在很少几个公理的前提下推导出来的结果,才能表达这些公理的内蕴意义。这个看法有如文学家作诗写文,干净利落,从简洁处看到作品的意境。近代数学的发展也往往在极为复杂的数学问题中,找到它精华的一部分来独立发展,完成一个可以概括很多现象的结构。中国数学家不大熟悉这样子的手段,堂庑不够宏大。

在数学每一个重要的环节都搞清楚后,就需要考虑它们交叉的意义和内容。就如一个交响乐团由不同的乐器和音乐家组合而成,由一个掌控全盘的音乐家来指挥。文学创作里的《红楼梦》也是如此:由很多不同的环节组合而成,这些环节有诗、有词、有祭文,各有重要的特色,而又环环相扣。在数学上,也是如此。数学家证明了不同而又重要的定理。这些定理可能都有它们的重要性,但真正成为一个数学主流的学问,必须将这些定理整合起来,成为一个有完整哲学思维做背景的理论,影响才会深入,这种学问才会有价值,能够流传后世!在数学发展史上,能够做到这样的学问的,除了牛顿发现微积分外,以后欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特、庞加莱、外尔、韦伊等人,都能够做到这一点。我们要欣赏他们的工作,最好从他们的历史背景,来找寻他们做研究的踪迹。

还有一个有趣的事实,中国数学家几乎从来不用反证法来证明定理。大概原因:反证法虽然可以指出定理的真实性,却无法得出实际的应用。在欧几里得证明存在无穷多个素数时,西方数学家已经知道反证法的威力。古代中国学者对逻辑的运用远不如西方,对纯粹科学真理的兴趣也不如西方。

希腊数学家对数字、对几何图形有无比的热情。毕达哥拉斯以为整数和有理数可以决定天地的一切,因此研究弦的长度和音调的关系。当他知道直角三角形两边长等于整数一,斜边却是无理数时,大为失望,传说他学派中有人自杀!这是因为毕氏学派是一个哲学团体,他们有一套描述宇宙的想法,但又不得不接受严格推理的结果。但是数学家接受了无理数的存在,并在它的基础上,发展了数学分析这门学问。古代的中国数学家不在乎无理数这种概念,要到20世纪才发展数学分析。现代电子计算机的发展,却大量地运用数字的威力,正好印证毕氏学派万物皆数的想法。

阿基米德研究流体静力学,他在洗澡发现浮力原理时,高兴地跑到街上大叫“Eureka, Eureka(我找到了,我找到了)。当时他忘记了穿衣服。这种为科学而无比兴奋的心情,恐怕在今日中国的科学界很难找得到了。我记得小时候听我的中学老师黄逸樵讲说阿基米德这个故事时,自觉大丈夫,当如是

我们看伟大的数学家牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯,他们对数学的高瞻远瞩,令人钦佩。他们有强烈的好奇心,为找寻科学真理而努力。他们不在乎他们的研究对政府或对社会有何帮助,也不见得很在乎经费和奖金。但是他们开创的数学,不但流芳百世,也是近代西方文明的支柱。

我从前阅览欧拉的著作,他个人写了60多本书,大部分都是开创性的工作。他有13个小孩,一边抱小孩一边著作,到晚年时更瞎了眼睛。他的创作,无论在纯数学或应用数学方面的贡献,实在是极尽丰满。

 完美复数与现代数学


明朝初年,欧洲文艺复兴之时,在科学界一个极为重要的问题,就是求解三次和四次方程式。这看来是小事,却是数学家第一次理解到复数的重要性。我们来看二次方程:x²+1=0。很明显,只要x是实数,方程左边一定大于零,所以方程无解。对中国古代数学家来说,似乎没有理由去继续讨论这种没有解的方程。但是欧洲数学家追求数的完美性质,就假定上面这个二次方程有一个非实数的解,称之为虚数,同时要求这个虚数和普通实数混合在一起,同样做加减乘除,得到所谓复数域。他们因此得到一个奇妙和惊人的发现:虽然有的多项式没有实数解,但是所有多项式都有复数解,同时解的个数刚好是多项式的次数。

从方程的角度来说,这个复数域是完美的,也是古希腊哲学家所乐见的。很多中国古代数学家大概认为我只想知道现实界的解,不想研究这种虚无的复数域。但是欧洲数学家发现在研究自然界的数学现象时,复数域不但会增强我们理解实数的能力,它已经成为数学的本体。欧拉用复数来解释三角函数,傅里叶用它来解释波动现象。在数论中,高斯、黎曼和之后的学者,广泛应用复函数和复数域深入研究素数的性质。事实上,用一句简单但不算夸张的话,中国古代数学,甚至可以说中国古代科学,落后于西方的一个因素始于复数理论在西方的萌芽。

要求数学体系或者其他科学体系完备化的想法,根植于希腊哲学,影响到今日数学的发展。韦伊和格罗滕迪克建立了一套完备的代数几何结构,初看时,极度玄虚,结果却极大地推动了数论和几何的研究。这是一个追求完美而有大成就的极好例子。我的老师陈省身先生刚开始研究示性类时,想解释苏联数学家庞特里亚金在实纤维丛的工作。结果发现在复纤维丛时,理论更加完美,完成了陈氏类的工作。从这点就可以看出追求完美的哲学观点的重要性。

中国学者少有注意数学发展的历史和支持数学的基本哲学,大部分萧规曹随,解决一些问题而已。但是理论如何叫作完美?它有它的客观性,也有它的主观性。很多学者发展了一套长篇的理论,看似漂亮,却是越来越玄虚,结果无以为继。这是和自然界的真与美愈来愈脱节的缘故。当年我和我的朋友们发展几何分析,就坚持我们必须要有理论,要有长远的看法。但是在这个基础上,我们的理论必须要有能力来解决具体的问题。一般来说,这些问题必须是自然界产生的问题。

学问大流,真诚为源

今日中国科教兴国、科技创新,必以数学为基础。数学在现代社会的影响,可谓无远弗届,上至天文、物理、生物,下至网络、社会人文,都和数学有关。可以预见的是,21世纪大国的竞争,必和科技发展息息相关。谁能掌握科技上流,谁就主导经济和军事的走势。但是科技的上流,却不是解决几个问题就可以完成。我们要有前瞻性的胸襟和理想,才能引领风骚,领导世界。

要做到这一点,我们需要深思我在前面说的求因、明变和评论,才能了解到学问的大流,才能知道如何去赏析数学的真实意义。数学从自然界、从各种学问吸收真和美的真髓。没有深厚的文化和感情,很难做到这一点。既要执着于中国儒家以人为本的精神来看数学,即数学家需要承担起发展数学的责任,也需要接受希腊哲人对真和美追求的狂热精神。当读历代大数学家的生平和研究方法时,我们会知道数学思想的始源。因此在接触到美丽的自然现象时,会有自然的反应,可以开创新的思维。中国不少学者太注重名和利,一生的目标不是做院士,就是得到政府赏赐的奖金和名誉,而并非学问的精进。

孔子说:吾未见好德如好色者也。在今日的社会,除了好色之外,还当加上好名和好利。然而孔子也说:后生可畏,焉知来者之不如今也?我相信中国的青年是有为的,我们应该为他们树立一个好的榜样,历史上的伟人都可以作为他们的典范。

《中庸》说:唯天下至诚,为能尽其性;能尽其性,则能尽人之性;能尽人之性,则能尽物之性;能尽物之性,则可以赞天地之化育;可以赞天地之化育,则可以与天地参矣。真诚是学问之道的不二法门。愿我们能以谦虚真诚的态度,来追随数学先贤们开创的道路。

 

《真与美:丘成桐的数学观》,丘成桐/著,江苏凤凰文艺出版社·胡杨文化,20238月版。


版权声明

 

「醒客教育思想网」系公益性网站,所转载内容均非用于商业用途,

除部分本站自行生产内容,

本站所刊出其他内容之著作权归原文作者/原发表平台所有,

权利所有人不愿其作品本站转载,

请联系工作人员(edu.thinker#hotmail.com)删除。

不便之处,敬请谅解。



 


提交评论

你必须 登录 以便提交评论

关于我们

醒客教育思想网由著名经济学家茅于轼先生题写站名,并得到茅于轼、张曙光、雷颐、汪丁丁、丁学良等国内知名思想界人士的支持,是一个传播国内外最新教育思想、观念资讯与新知的公益性网站。

联系我们

E-mail:edu.thinker@hotmail.com

微信公众号:eduthinkers

新浪微博:http://weibo.com/eduthinkers

醒客教育思想网 © 2024 All Rights Reserved

              

粤ICP备18113215号

             

Designed by 广州醒客

Powered by WordPress

// www.eduthinker.com